求解多项式的极限问题

多项式： a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x 1 + a 0 x 0 a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x^1+a_0x^0 an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x1+a0​x0

两个多项式之比 p ( x ) q ( x ) \frac{p(x)}{q(x)} q(x)p(x)​ 称为有理函数

x → a x\rightarrow a x→a 时的有理函数的极限的求解方法 1.代入 a a a后 q ( x ) ≠ 0 q(x) \neq 0 q(x)=0，则此极限为代入 a a a后的值 2.代入 a a a后 q ( x ) = 0 q(x) = 0 q(x)=0，则将分子、分母因式分解，而后代入 a a a求出极限

例子1： 直接代入 x = 2 x=2 x=2 得到结果 − 2 -2 −2

例子2：

当分母 p ( x ) ≠ 0 p(x)\neq0 p(x)=0，分子 q ( x ) = 0 q(x)=0 q(x)=0情况下，有理函数在 x = a x=a x=a 处的各种极限

x → a x\rightarrow a x→a 时的平方根的极限的求解方法 分子分母同时乘以共轭表达式

例子：

两个多项式之比 p ( x ) q ( x ) \frac{p(x)}{q(x)} q(x)p(x)​ 称为有理函数

多项式： a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x 1 + a 0 x 0 a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x^1+a_0x^0 an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x1+a0​x0

重要的多项式性质： 当 x x x 很大时，首项 a n x n a_nx^n an​xn 决定一切（当 x x x 变大时，最高次数项比其他项增长得更快） 如果有一多项式 p ( x ) p(x) p(x)，那么当 x x x 变得越来越大时， p ( x ) p(x) p(x)的表现就好像只有它的首项存在一样

下面这个式子不能表达两个多项式的极限非常接近

极限描述了函数在一个定点附近的行为，而 x → ∞ x\rightarrow \infty x→∞ 接近无穷大的程度无法衡量，故无法描述两个极限的接近程度

x → ∞ x\rightarrow \infty x→∞ 时的有理函数的极限求解方法 一般思想：看到某个多项式 p ( x ) p(x) p(x) 不止一项的情况下使用下式

例子：

总结：

含有分数次数或 n n n次根的不是多项式，类似于多项式，故称多项式型 如下图三个函数为多项式型函数

x → ∞ x\rightarrow \infty x→∞ 时的多项式型函数的极限求解方法 与求多项式的原理类似

例子：

x → − ∞ x\rightarrow -\infty x→−∞ 时的多项式型函数的极限求解方法 与求多项式的原理类似

但在处理四次方根、六次方根时注意正负号

例子：

包含绝对值的函数的极限求解方法 根据绝对值内部的符号，考虑两个或更多个不同的 x x x 的区间

例子：